Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 4. Арифметика остатков >> параграф 1. Четность
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 25 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть движение плоскости переводит фигуру F в фигуру F'. Для каждой пары соответственных точек A и A' рассмотрим середину X отрезка AA'. Докажите, что либо все точки X совпадают, либо все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную F.

Вниз   Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R, причем AB = CD = EF = R. Докажите, что середины сторон BC, DE и FA образуют правильный треугольник.

ВверхВниз   Решение

Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что $ \overrightarrow{AD}$ = $ \overrightarrow{DK}$. Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что  22n–1 + 3n + 4  делится на 9 при любом n.

ВверхВниз   Решение

а)  sin$ \alpha$ + sin$ \beta$ + sin$ \gamma$ $ \leq$ 3$ \sqrt{3}$/2;
б)  cos($ \alpha$/2) + cos($ \beta$/2) + cos($ \gamma$/2) $ \leq$ 3$ \sqrt{3}$/2.

ВверхВниз   Решение

Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.

ВверхВниз   Решение

Триангуляцией многоугольника называют его разбиение на треугольники, обладающее тем свойством, что эти треугольники либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек (т. е. вершина одного треугольника не может лежать на стороне другого). Докажите, что треугольники триангуляции можно раскрасить в три цвета так, что имеющие общую сторону треугольники будут разного цвета.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что для любого натурального n  10n + 18n – 1  делится на 27.

ВверхВниз   Решение

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

ВверхВниз   Решение

Даны три прямые a, b, c. Пусть T = SaoSboSc. Докажите, что ToT — параллельный перенос (или тождественное отображение).

ВверхВниз   Решение

Даны точки A и B и окружность S. Постройте на окружности S такие точки C и D, что AC| BD и дуга CD имеет данную величину $ \alpha$.

ВверхВниз   Решение

а) Через точку P проводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Гуровиц В.М., Френкин Б.Р.

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ– какой-нибудь стороне?

ВверхВниз   Решение

Автор: Кожевников П.А.

 Фиксированы окружность, точка A на ней и точка K вне окружности. Секущая, проходящая через K, пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что ортоцентры треугольников APQ лежат на фиксированной окружности.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Доказать, что из 17 различных натуральных чисел либо найдутся пять таких чисел a, b, c, d, e, что каждое из чисел этой пятёрки, кроме последнего, делится на число, стоящее за ним, либо найдутся пять таких чисел, что ни одно из них не делится на другое.

ВверхВниз   Решение

Автор: Канель-Белов А.Я.

На сфере отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на большой окружности (большая окружность – это окружность, по которой пересекаются сфера и плоскость, проходящая через её центр). Две большие окружности, не проходящие через отмеченные точки, называются эквивалентными, если одну из них с помощью непрерывнвого перемещения по сфере можно перевести в другую так, что в процессе перемещения окружность не проходит через отмеченные точки.
  а) Сколько можно нарисовать окружностей, не проходящих через отмеченные точки и не эквивалентных друг другу?
  б) Та же задача для n отмеченных точек.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шноль Д.Э.

Врун всегда лжёт, Хитрец говорит правду или ложь, когда захочет, а Переменчик говорит то правду, то ложь попеременно. Путешественник встретил Вруна, Хитреца и Переменчика, которые знают друг друга. Сможет ли он, задавая им вопросы, выяснить, кто есть кто?

ВверхВниз   Решение

Автор: Зайцева Ю.

Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC зафиксированы точки C1 и A1 соответственно. Найдите на описанной окружности треугольника ABC такую точку P, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников APC1 и CPA1 минимально.

ВверхВниз   Решение

На дуге CD описанной окружности квадрата ABCD взята точка P. Докажите, что  PA + PC = $ \sqrt{2}$PB.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Кноп К.А., Синицын С., Воронов В.

На сторонах четырёхугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники ABM, CBP, CDL и ADK (соседние ориентированы по-разному). Докажите, что  PK = ML.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2 .

ВверхВниз   Решение

Авторы: Блинков А.Д., Мухин Д.Г.

Дан треугольник ABC. На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяты соответственно точки C1 и A1 так, что  AC = A1C = AC1.
Докажите, что описанные окружности треугольников ABA1 и CBC1 пересекаются на биссектрисе угла B.

ВверхВниз   Решение

Город имеет форму квадрата 5×5:

Какую наименьшую длину может иметь маршрут, если нужно пройти по каждой улице этого города и вернуться в прежнее место? (По каждой улице можно проходить любое число раз.)

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

  с решениями  

Задача 60632  (#04.006)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Обход графов ]
[ Степень вершины ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Город имеет форму квадрата 5×5:

Какую наименьшую длину может иметь маршрут, если нужно пройти по каждой улице этого города и вернуться в прежнее место? (По каждой улице можно проходить любое число раз.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 60633  (#04.007)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

а) Может ли ладья перейти из одного угла шахматной доски в противоположный угол (по диагонали), побывав по одному разу на всех 64 клетках?
б) Тот же вопрос для коня.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60634  (#04.008)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3
Классы: 7,8

Вдоль улицы стоят шесть деревьев, и на каждом из них сидит по вороне. Раз в час две из них взлетают, и каждая садится на одно из соседних деревьев. Может ли получиться так, что все вороны соберутся на одном дереве?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60635  (#04.009)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Обход графов ]
[ Шахматная раскраска ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Представим себе большой куб, склеенный из 27 меньших кубиков. Термит садится на центр грани одного из наружных кубиков и начинает прогрызать ход. Побывав в кубике, термит к нему уже не возвращается. Движется он при этом всегда параллельно какому-нибудь ребру большого куба. Может ли термит прогрызть все 26 внешних кубиков и закончить свой ход в центральном кубике? Если возможно, покажите, каким должен быть путь термита.

Прислать комментарий     Решение

Задача 58162  (#04.010)

Темы:   [ Треугольники (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8

На плоскости лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после25 ударов?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .