Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 4. Арифметика остатков
>>
параграф 2. Делимость
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Диагональ BD трапеции ABCD равна m, а боковая сторона AD равна n. Найдите основание CD, если известно, что основание, диагональ и боковая сторона трапеции, выходящие из вершины C, равны между собой.
Один квадрат вписан в окружность, а другой квадрат описан около той же окружности так, что его вершины лежат на продолжениях сторон первого (см. рисунок). Найдите угол между сторонами этих квадратов.
Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство |x| + |y| < 100?
В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину
стороны AC, пересекает сторону BC в точке M, а перпендикуляр,
проходящий через сторону BC пересекает сторону AC в точке N.
Прямая MN перпендикулярна AB и
MN = .
Найдите углы треугольника ABC.
Через вершину A остроугольного треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC, равной a, и пересекающая окружности, построенные на сторонах AB и AC как на диаметрах, в точках M и N, отличных от A. Найдите MN.
Точка D – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Окружность, проходящая через точки A, B и D, пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABD и MNC равны.
Из шахматной доски со стороной а) 2n; б) 6n + 1 выброшена
одна клетка. Докажите, что оставшуюся часть доски можно
замостить плитками, изображенными на рис.
Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC, AM = a, BM = b, CM = c, c < a, c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точка $P$ выбрана так, что $AP=AB$ и $PB \parallel AC$. Точка $Q$ выбрана так, что $AQ=AC$ и $CQ \parallel AB$. Отрезки $CP$ и $BQ$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на окружности $(PXQ)$.
а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.
б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.
AA1 и BB1 – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что:
а) треугольник AA1C подобен треугольнику BB1C;
б) треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C.
в) Найдите коэффициент подобия треугольников A1B1C и ABC, если ∠C = γ.
Докажите, что число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере
а) 8; б) 32 различных делителя.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]
Задача 30378 (#04.023) |
|
|
а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.
б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.
|
|
Решение |
Задача 60650 (#04.024) |
|
|
Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37.
|
|
Решение |
Задача 60651 (#04.025) |
|
|
Докажите, что число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере
а) 8; б) 32 различных делителя.
|
|
|
Решение |
Задача 60652 (#04.026) |
|
|
Докажите, что числа а) 232001 + 1; б) 232001 – 1 – составные.
|
|
|
Решение |
Задача 60653 (#04.027) |
|
|
Докажите, что
а) 241 + 1 делится на 83;
б) 270 + 370 делится на 13;
в) 260 – 1 делится на 20801.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]
