ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 11. Последовательности и ряды
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

В некоторой стране каждые два города соединены либо авиалинией, либо железной дорогой. Докажите, что
  а) можно выбрать вид транспорта так, чтобы от каждого города можно было добраться до любого другого, пользуясь только этим видом транспорта;
  б) из некоторого города, выбрав один из видов транспорта, можно добраться до любого другого города не более чем с одной пересадкой (пользоваться можно только выбранным видом транспорта);
  в) каждый город обладает свойством из пункта б);
  г) можно выбрать вид транспорта так, чтобы пользуясь только им, можно было добраться из каждого города до любого другого не более чем с двумя пересадками.

Вниз   Решение

Докажите, что граф, имеющий пять вершин, каждая из которых соединена ребром со всеми остальными, не является плоским.

ВверхВниз   Решение

Определение. Пусть функция f (x, y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f (x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть:
f (x, y)=1/4(f (x+1, y)+ f (x-1, y)+f (x, y+1) + f (x, y-1)).
Пусть f (x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af (x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

Задача 61453  (#11.026)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что при всех натуральных n число   f (n) = 22n–1 – 9n² + 21n – 14   делится на 27.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61454  (#11.027)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Для каких натуральных n в выражении

±12±22±32±...±n2

можно так расставить знаки + и -, что в результате получится 0?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61455  (#11.028)

Тема:   [ Функции нескольких переменных ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10,11

Определение. Пусть функция f (x, y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f (x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть:
f (x, y)=1/4(f (x+1, y)+ f (x-1, y)+f (x, y+1) + f (x, y-1)).
Пусть f (x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af (x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61456  (#11.029)

Тема:   [ Функции нескольких переменных ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10,11

Пусть f (x, y) — гармоническая функция (определение смотри в задаче 11.28). Докажите, что функции $ \Delta_{x}^{}$f (x, y) = f (x + 1, y) - f (x, y) и $ \Delta_{y}^{}$f (x, y) = f (x, y + 1) - f (x, y) также будут гармоническими.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61457  (#11.030)

 [Дискретная теорема Лиувилля]
Тема:   [ Функции нескольких переменных ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f (x, y) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче 11.28) функция, то есть существует положительная константа M такая, что

$\displaystyle \forall$(x, y) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$2    | f (x, y)| $\displaystyle \leqslant$ M.

Докажите, что функция f (x, y) равна константе.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .