Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]

Задача 61529 (#12.001)

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
Темы:	[	Парадоксы	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Ученик Коля Васин при помощи метода математической индукции смог доказать, что в любом табуне все лошади одной масти.
Если есть только одна лошадь, то она своей масти, так что база индукции верна. Для индуктивного перехода предположим, что есть n лошадей (с номерами от 1 до n). По индуктивному предположению лошади с номерами от 1 до n - 1 одинаковой масти. Аналогично лошади с номерами от 2 до n также имеют одинаковую масть. Но лошади с номерами от 2 до n - 1 не могут менять свою масть в зависимости от того как они сгруппированы — это лошади, а не хамелеоны. Поэтому все n лошадей должны быть одинаковой масти.
Есть ли ошибка в этом рассуждении, и если есть, то какая?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61530 (#12.002)

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Иногда, вычитая дроби, можно вычитать их числители и складывать знаменатели. Например:
Для каких дробей это возможно?

Прислать комментарий

Решение

Задача 107736 (#12.003)

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например, ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈. Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".

Прислать комментарий

Решение

Задача 61532 (#12.004)

Тема:

[

Показательные функции и логарифмы (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Легко проверить равенства

log $\displaystyle \left(\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right.$ 16 + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right)$ = log 16 + log $\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$ ;

log $\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - 8 $\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right)$ = log $\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - log 8.

В каких еще случаях можно выносить логарифм за скобку?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61533 (#12.005)

Тема:

[

Показательные функции и логарифмы (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 9,10

При каких значениях a и b возможно равенство

sin a + sin b = sin(a + b)?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]