Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 64510 (#1)

Темы:	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Толпыго А.К.

Пусть a^b обозначает число a^b. В выражении 7^7^7^7^7^7^7 надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок).
Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64515 (#2)

Темы:	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Гальперин Г.А.

На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64516 (#3)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

Для каждого натурального числа n обозначим через O(n) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа
х₁ = а и х₂ = b. Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу: x_n = O(х_n–1 + х_n–2), где n = 3, 4, ... .
а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.
б) Как найти это число, зная числа a и b?

Прислать комментарий Решение

Задача 64517 (#4)

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что M ≥ N.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64518 (#5)

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Центр масс	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Маркелов С.В.

Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]