Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 17 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите неравенство  xαyβ ≤ αx + βy  для положительных значений переменных при условии, что  α + β = 1  (α, β > 0).

Вниз   Решение


Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине A треугольника ABC пересекают прямую BC в точках P и Q.
Докажите, что окружность, построенная на отрезке PQ как на диаметре, проходит через точку A.

ВверхВниз   Решение


a, b, c ≥ 0.  Докажите, что  (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc.

ВверхВниз   Решение


Все углы треугольника ABC меньше  120o. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом  120o.


ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для положительных значений переменных:   a²b² + b²c² + a²c² ≥ abc(a + b + c).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство  a4 + b4 + c4abc(a + b + c).

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны три вектора a, b, c, причем $ \alpha$a + $ \beta$b + $ \gamma$c = 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |$ \alpha$|, |$ \beta$|, |$ \gamma$| можно составить треугольник.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки A, B и C. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.

ВверхВниз   Решение


Даны окружность S, точки A и B на ней и точка C хорды AB. Для каждой окружности S', касающейся хорды AB в точке C и пересекающей окружность S в точках P и Q, рассмотрим точку M пересечения прямых AB и PQ. Докажите, что положение точки M не зависит от выбора окружности S'.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство Чебышёва     при условии, что   a1a2 ≥ ... ≥ an   и
b1b2 ≥ ... ≥ bn.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство   (a + b + c + d + 1)² ≥ 4(a² + b² + c² + d²)  при  a, b, c, d ∈ [0, 1].

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство  (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc  для положительных значений переменных.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если   a1a2 ≥ ... ≥ an,   b1b2 ≥ ... ≥ bn,   то наибольшая из сумм вида   a1bk1 + a2bk2 + ... + anbkn     (k1, k2, ..., kn – перестановка чисел
1, 2, ..., n),  это сумма   a1b1 + a2b2 + ... + anbn,   а наименьшая – сумма   a1bn + a2bn–1 + ... + anb1.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для положительных значений переменных:   x4 + y4 + z² + 1 ≥ 2x(xy² – x + z + 1).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что биссектрисы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1,  считая от вершины треугольника.

ВверхВниз   Решение


На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу AB в точке K.
Найдите CK, если  AC = 2  и  ∠A = 30°.

ВверхВниз   Решение


Два угла прямоугольного листа бумаги согнули так, как показано на рисунке. Противоположная сторона при этом оказалась разделённой на три равные части. Докажите, что закрашенный треугольник – равносторонний.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



Задача 64695

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 6,7

Два угла прямоугольного листа бумаги согнули так, как показано на рисунке. Противоположная сторона при этом оказалась разделённой на три равные части. Докажите, что закрашенный треугольник – равносторонний.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64683

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

Автор: Шноль Д.Э.

Компания из нескольких друзей вела переписку так, что каждое письмо получали все, кроме отправителя. Каждый написал одно и то же количество писем, в результате чего всеми вместе было получено 440 писем. Сколько человек могло быть в этой компании?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64685

Темы:   [ Теория алгоритмов ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

К кабинке канатной дороги, ведущей на гору, подошли четыре человека, которые весят 50, 60, 70 и 90 кг. Смотрителя нет, а в автоматическом режиме кабинка ездит туда-сюда только с грузом от 100 до 250 кг (в частности, пустой она не ездит), при условии, что пассажиров можно рассадить на две скамьи так, чтобы веса на скамьях отличались не более, чем на 25 кг. Каким образом все они смогут подняться на гору?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64691

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7

Автор: Акопян Э.

Петя утверждает, что он сумел согнуть бумажный равносторонний треугольник так, что получился четырёхугольник, причём всюду трёхслойный.
Как это могло получиться?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64692

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7

Автор: Акопян Э.

В начале года в 7 классе учились 25 человек. После того как туда пришли семеро новеньких, процентный состав отличников увеличился на 10 (если в начале года он был a%, то теперь –  (a + 10)%).  Сколько теперь отличников в классе?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .