На плоскости дано n выпуклых попарно пересекающихся k-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы     из этих k-угольников.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что  PQ = ^AC/₂.  Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

В республике математиков выбрали число  α > 2  и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α^k рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дано n выпуклых попарно пересекающихся k-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы     из этих k-угольников.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]