Версия для печати
Убрать все задачи

---

Рассматривается последовательность квадратов на плоскости. Первые два квадрата со стороной 1 расположены рядом (второй правее) и имеют одну общую вертикальную сторону. Нижняя сторона третьего квадрата со стороной 2 содержит верхние стороны первых двух квадратов. Правая сторона четвёртого квадрата со стороной 3 содержит левые стороны первого и третьего квадратов. Верхняя сторона пятого квадрата со стороной 5 содержит нижние стороны первого, второго и четвертого квадратов. Далее двигаемся по спирали бесконечно, обходя рассмотренные квадраты против часовой стрелки так, что сторона нового квадрата составлена из сторон трёх ранее рассмотренных. Докажите, что центры всех этих квадратов принадлежат двум прямым.

 

   Решение

---

В стране больше 101 города. Столица соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме столицы, соединён авиалиниями ровно с десятью городами (если A соединён с B, то B соединён с A). Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой (может быть, с пересадками). Доказать, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так, что возможность попасть из каждого города в любой другой сохранится.

   Решение

---

a, b, c – натуральные числа,  НОД(a, b, c) = 1  и     Докажите, что  a – b  – точный квадрат.

   Решение

---

Окружность разбита на семь дуг так, что сумма каждых двух соседних дуг не превышает 103°.
Назовите такое наибольшее число A, что при любом таком разбиении каждая из семи дуг содержит не меньше A°.

   Решение

---

Решите уравнения

а)  = 4x3 - 3x;

в)  = 2x2 - 1 + 2x;

б) x + = ;

г)  = 2x2 - 1.

   Решение

---

Из одинаковых неравнобедренных прямоугольных треугольников составили прямоугольник (без дырок и наложений).
Обязательно ли какие-то два из этих треугольников расположены так, что образуют прямоугольник?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65454

Тема:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Из одинаковых неравнобедренных прямоугольных треугольников составили прямоугольник (без дырок и наложений).
Обязательно ли какие-то два из этих треугольников расположены так, что образуют прямоугольник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65458

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число. Сколько существует таких натуральных n, что pn делится на  p + n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65461

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Будем называть клетчатый многоугольник выдающимся, если он не является прямоугольником и из нескольких его копий можно сложить подобный ему многоугольник. Например, уголок из трёх клеток – выдающийся многоугольник (см. рис.).

  а) Придумайте выдающийся многоугольник из четырёх клеток.
  б) При каких  n > 4  существует выдающийся многоугольник из n клеток?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65462

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если
  а)  k = 9;   б)  k = 8?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65463

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Периметр треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника
  а) не больше ¾ P, где P – периметр этого треугольника;
  б) не меньше ¾ p, где p – полупериметр этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями