В классе 27 учеников. Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для каждых двух учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимаются не менее 18 учеников.

   Решение

В треугольнике каждую сторону увеличили на 1. Обязательно ли при этом увеличилась его площадь?

   Решение

Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что  4S AM ^. BC + BM ^. AC + CM ^. AB, где S — площадь треугольника ABC.

   Решение

На олимпиаду пришло 2018 участников, некоторые из них знакомы между собой. Будем говорить, что несколько попарно знакомых участников образуют "кружок", если любой другой участник олимпиады не знаком с кем-то из них. Докажите, что можно рассадить всех участников олимпиады по 90 аудиториям так, что ни в какой аудитории не будут сидеть все представители какого-либо "кружка".

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]      

На сторонах выпуклого шестиугольника ABCDEF во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC₁, BCD₁, CDE₁, DEF₁, EFA₁ и FAB₁. Оказалось, что треугольник B₁D₁F₁ – равносторонний. Докажите, что треугольник A₁C₁E₁ также равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

На олимпиаду пришло 2018 участников, некоторые из них знакомы между собой. Будем говорить, что несколько попарно знакомых участников образуют "кружок", если любой другой участник олимпиады не знаком с кем-то из них. Докажите, что можно рассадить всех участников олимпиады по 90 аудиториям так, что ни в какой аудитории не будут сидеть все представители какого-либо "кружка".

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что количество способов разрезать квадрат $999 \times 999$ на уголки из трёх клеток делится на $2^7$.

Прислать комментарий

Решение

В доме из $2^n$ комнат сделали евроремонт. При этом выключатели света оказались перепутанными, так что при включении выключателя в одной комнате загорается лампочка, вообще говоря, в какой-то другой комнате. Чтобы узнать, какой выключатель к какой комнате подсоединён, прораб посылает несколько людей в какие-то комнаты, чтобы те, одновременно включив там выключатели, вернулись и сообщили ему, горела лампочка в их комнате или нет.
а) Докажите, что за $2n$ таких посылок прораб может установить соответствие между выключателями и комнатами.
б) А может ли он обойтись $2n-1$ такими посылками?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]