Версия для печати
Убрать все задачи

---

Петя и Вася подошли к доске, и Петя нарисовал на ней несколько окружностей с различными центрами, покрасив каждый центр красным или синим цветом. Оказалось, что если какие-то две окружности касаются друг друга, то обязательно внешним образом, причём их центры — разного цвета. Всегда ли Вася может заменить каждую окружность на новую с тем же центром так, чтобы выполнялось условие: если касались друг друга две старые окружности, то соответствующие им новые тоже касаются, но уже внутренним образом?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67587  (#1)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

В ряд слева направо стоят коробки с номерами 1, 2, 3, … В них по очереди кладут числа 1, 2, …, 2025. В каждой коробке каждые два числа должны быть взаимно просты. Очередное число кладётся в самую левую из разрешённых коробок. Все числа разложили.

а) Сколько чисел попало во вторую коробку?

б) Сколько чисел попало в третью коробку?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67588  (#2)

Тема:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ равны стороны $AE$, $BC$ и $DE$, а также равны углы $A$, $B$, $C$ и $D$. Докажите, что точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67589  (#3)

Тема:   [ Комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10,11

По кругу стоят 30 мальчиков и 30 девочек. Докажите, что можно выбрать 10 мальчиков и 10 девочек так, чтобы никакие двое из выбранных не стояли рядом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67590  (#4)

Тема:   [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10,11

Петя и Вася подошли к доске, и Петя нарисовал на ней несколько окружностей с различными центрами, покрасив каждый центр красным или синим цветом. Оказалось, что если какие-то две окружности касаются друг друга, то обязательно внешним образом, причём их центры — разного цвета. Всегда ли Вася может заменить каждую окружность на новую с тем же центром так, чтобы выполнялось условие: если касались друг друга две старые окружности, то соответствующие им новые тоже касаются, но уже внутренним образом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67591  (#5)

Тема:   [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Таблица $n\times n$ заполнена целыми числами от 0 до $n$ так, что и в каждой строке, и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку таблицы удачной, если в объединении её строки и её столбца встречаются все числа от 0 до $n$.
а) Каково наибольшее возможное количество удачных клеток?
б) Докажите, что количество удачных клеток чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями