Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.

   Решение

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

   Решение

Точки $A'$, $B'$, $C'$ соответственно симметричны вершинам $A$, $B$, $C$ относительно противоположных сторон треугольника $ABC$. Докажите, что окружности $AB'C'$, $A'BC'$ и $A'B'C$ пересекаются в одной точке.

   Решение

Даны три попарно различные точки на прямой. Сколько существует равнобедренных треугольников, в которых они являются (в каком-нибудь порядке) центрами описанной, вписанной и вневписанной окружностей?

   Решение

Докажите тождество

   Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$, $BH_B$, $CH_C$. Пусть $X$ – произвольная точка отрезка $CH_C$, а $P$ – точка пересечения окружностей с диаметрами $H_CX$ и $BC$, отличная от $H_C$. Прямые $CP$ и $AH_A$ пересекаются в точке $Q$, а прямые $XP$ и $AB$ – в точке $R$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $R$, $H_B$ лежат на одной окружности.

   Решение

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 4, и на 5, и на 6 кучек равной массы?

   Решение

По окружности выписаны n чисел  x₁, x₂, ..., x_n,  каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого  k = 1, 2, ..., n – 1  сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть  x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁ = 0,  x₁x₃ + x₂x₄ + ... + x_nx₂ = 0,  x₁x₄ + x₂x₅ + ... + x_nx₃ = 0  и так далее; например, для  n = 4  можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
  а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
  б)* Существует ли такой набор чисел для  n = 16?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

По окружности выписаны n чисел  x₁, x₂, ..., x_n,  каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого  k = 1, 2, ..., n – 1  сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть  x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁ = 0,  x₁x₃ + x₂x₄ + ... + x_nx₂ = 0,  x₁x₄ + x₂x₅ + ... + x_nx₃ = 0  и так далее; например, для  n = 4  можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
  а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
  б)* Существует ли такой набор чисел для  n = 16?

Прислать комментарий

Решение

Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль вольвокс — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток на 12 больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?

Прислать комментарий

Решение

Какое множество точек заполняют центры тяжести треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трёх сторонах АВ, ВС и АС данного треугольника АВС?

Прислать комментарий

Решение

Для каждого натурального  n > 1  существует такое число c_n, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа  x + ^π/_n,  синуса числа
x + ^2π/_n,  ..., наконец, синуса числа  x + ^{(n – 1)π}/_n  равно произведению числа c_n на синус числа nx. Докажите это и найдите величину c_n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]