Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1941 год
>>
7,8 класс, 2 тур
Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
В выпуклой n-угольной призме равны все боковые грани. При каких n эта призма обязательно прямая?
Докажите, что
cos2(/2) = p(p - a)/bc
и
sin2(
/2) = (p - b)(p - c)/bc.
На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы?
Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел каждой строки равнялась бы 30, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 10?
Существуют ли такие натуральные n и k, что десятичная запись числа 2n начинается числом 5k, а десятичная запись числа 5n начинается числом 2k?
Пусть f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.
На сторонах AB и CD четырехугольника ABCD
взяты точки M и N так, что
AM : MB = CN : ND. Отрезки AN
и DM пересекаются в точке K, а отрезки BN и CM — в
точке L. Докажите, что
SKMLN = SADK + SBCL.
Среди своих старых рисунков Катя нашла несколько картинок с разноцветным зонтиком. Катя помнит, что рисовала один и тот же зонтик (вид сверху), только повёрнутый по-разному. К сожалению, от времени краска частично выцвела.
Помогите Кате восстановить, в каком порядке располагались цвета на зонтике, если идти от 1 (розового) по часовой стрелке.
Потроить треугольник по высоте к стороне a ha, медиане к стороне a ma и высоте к стороне b hb.
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.
Доказать, что квадрат любого простого числа p > 3 при делении на 12 даёт в остатке 1.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 76489 (#1) |
|
|
Доказать, что из 5 попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
|
|
Решение |
Задача 76490 (#2) |
|
|
Дан треугольник ABC. Требуется разрезать его на наименьшее число частей так, чтобы, перевернув эти части на другую сторону, из них можно было сложить тот же треугольник ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 57812 (#3) |
|
|
Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная
внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до
пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до
пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения
с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов
траектория движения точки замкнется.
|
|
|
Решение |
Задача 76492 (#4) |
|
|
Найти целое число a, при котором (x – a)(x – 10) + 1 разлагается в произведение (x + b)(x + c) двух множителей с целыми b и c.
|
|
|
Решение |
Задача 76493 (#5) |
|
|
Доказать, что квадрат любого простого числа p > 3 при делении на 12 даёт в остатке 1.
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
