Версия для печати
Убрать все задачи

---

На прямой стоят две фишки, слева – красная, справа – синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю – слева?

   Решение

---

На окружности даны точки A₁, A₂,..., A₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек A₁, A₂,..., A₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых A₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых A₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 77983  (#1)

Темы:   [ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ] [ Перегруппировка площадей ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Неравенства с площадями ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

a, b, c и d — длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через S его площадь. Доказать, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77984  (#2)

Тема:   [ Признаки делимости (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

1953 цифры выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определённого места, то полученное 1953-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77985  (#3)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Многоугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9

На окружности даны точки A₁, A₂,..., A₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек A₁, A₂,..., A₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых A₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых A₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77986  (#4)

Тема:   [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3- Классы: 9

В плоскости расположено n зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе – с третьим и т.д. Наконец, последнее колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77987  (#5)

Тема:   [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 3- Классы: 9

Решить систему
   x₁ + 2x₂ + 2x₃ + ... + 2x₁₀₀ = 1,
   x₁ + 3x₂ + 4x₃ + ... + 4x₁₀₀ = 2,
   x₁ + 3x₂ + 5x₃ + ... + 6x₁₀₀ = 3,
    ...
   x₁ + 3x₂ + 5x₃ + ... + 199x₁₀₀ = 100.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями