Версия для печати
Убрать все задачи

---

Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60 от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?

   Решение

---

Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок  [0, 1]  разбит на  p + q  одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из  p + q – 2  чисел  ¹/_p, ²/_p, ..., ^p–1/_p,  ¹/_q, ²/_q, ..., ^q–1/_q.

   Решение

---

Дана следующая треугольная таблица чисел:

Каждое число (кроме чисел верхней строчки) равно сумме двух ближайших чисел предыдущей строчки.
Доказать, что число, стоящее в самой нижней строчке, делится на 1958.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78130  (#1)

Темы:   [ Симметричная стратегия ] [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Имеется система уравнений

    *x + *y + *z = 0,
    *x + *y + *z = 0,
    *x + *y + *z = 0.

Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.
Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78131  (#2)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В круге проведены два диаметра AB и CD. Доказать, что если M — произвольная точка окружности, а P и Q — её проекции на диаметры AB и CD, то длина отрезка PQ не зависит от выбора точки M.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78132  (#3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Раскладки и разбиения ] [ Правило произведения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Сколько существует четырёхзначных номеров (от 0001 до 9999), у которых сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78133  (#4)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Экстремальные свойства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На плоскости даны точки A и B. Построить такой квадрат, чтобы точки A и B лежали на его границе и сумма расстояний от точки A до вершин квадрата была наименьшей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78134  (#5)

Темы:   [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дана следующая треугольная таблица чисел:

Каждое число (кроме чисел верхней строчки) равно сумме двух ближайших чисел предыдущей строчки.
Доказать, что число, стоящее в самой нижней строчке, делится на 1958.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями