Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача
78264
(#1)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Точки
A и
B движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по
окружностям
O1 и
O2 соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что
вершина
C правильного треугольника
ABC также движется равномерно по
некоторой окружности.
Задача
78265
(#2)
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В клетки таблицы m×n вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.
Задача
78266
(#3)
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
n точек соединены отрезками так, что каждая точка с чем-нибудь соединена и нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями.
Доказать, что общее число отрезков равно n – 1.
Задача
78267
(#4)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9
|
a, b, p – любые целые числа. Доказать, что найдутся такие взаимно простые k, l, что ak + bl делится на p.
Задача
78268
(#5)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Коля и Петя делят 2
n + 1 орехов,
n
2, причём каждый хочет получать
возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три
этапа).
1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.
2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного
ореха.
1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов.
3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части;
При втором способе Коля берёт обе средние части;
При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние
части, но за право выбора отдаёт Пете один орех.
Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для
него.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1961 год
>>
9 класс, 2 тур
Решение 
