Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]

Задача 78569

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Композиции симметрий	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан прямоугольный биллиард размером 26×1965 (сторона длины 1965 направлена слева направо, а сторона длины 26 – сверху вниз; лузы расположены в вершинах прямоугольника). Из нижней левой лузы под углом 45° к бортам выпускается шар. Доказать, что после нескольких отражений от бортов он упадет в верхнюю левую лузу. (Угол падения равен углу отражения.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 78581

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что последние цифры чисел nⁿ (n – натуральное) образуют периодическую последовательность.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78584

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

В каждой клетке квадратной таблицы m×m клеток стоит либо натуральное число, либо нуль. При этом, если на пересечении строки и столбца стоит нуль, то сумма чисел в "кресте", состоящем из этой строки и этого столбца, не меньше m. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не меньше чем ½ m².

Прислать комментарий

Решение

Задача 78557

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Вдоль коридора положено несколько кусков ковровой дорожки. Куски покрывают весь коридор из конца в конец без пропусков и даже налегают друг на друга, так что над некоторыми местами пола они лежат в несколько слоев. Доказать, что можно убрать несколько кусков, возможно, достав их из-под других и оставив остальные в точности на тех же местах, где они лежали прежде, так что коридор по-прежнему будет полностью покрыт, и общая длина оставленных кусков будет меньше удвоенной длины коридора.

Прислать комментарий Решение

Задача 78568

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Дана последовательность ..., a_-n,..., a_-1, a₀, a₁,..., a_n,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен ${\frac{1}{4}}$ суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]