Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]

Задача 78839

Темы:	[	Ряд Фарея	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Теорема Пика	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть ^a/_b и ^c/_d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |bc – ad| = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78840

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Правило произведения	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

На всех клетках шахматной доски 8×8 расставлены натуральные числа. Разрешается выделить любой квадрат размером 3×3 или 4×4 и увеличить все числа в нём на 1. Мы хотим в результате нескольких таких операций добиться, чтобы числа во всех клетках делились на 10. Всегда ли это удастся сделать?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78809

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы ``Г'' . Концы коротких палочек у букв ``Г'' обозначим через A и A'. Длинные палочки разделены на n равных частей точками a₁, ..., a_{n - 1}; a'₁, ..., a'_{n - 1} (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Проводятся прямые Aa₁, Aa₂, ..., Aa_{n - 1}; A'a₁, A'a'₂, ..., A'a'_{n - 1}. Точку пересечения прямых Aa₁ и A'a₁ обозначим через X₁, прямых Aa₂ и A'a₂ — через X₂ и т.д. Доказать, что точки X₁, X₂, ..., X_{n - 1} образуют выпуклый многоугольник.

Примечание Problems.Ru: Предполагается, что данные фигуры совмещаются движением, сохраняющим ориентацию.

Прислать комментарий Решение

Задача 78830

Темы:	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На плоскости проведено 300 прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на куски. Доказать, что среди кусков найдётся не менее 100 треугольников.

Прислать комментарий Решение

Задача 78834

Тема:

[

Квадратные корни (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Существуют ли рациональные числа a, b, c, d, удовлетворяющие равенству

(a + b $\displaystyle \sqrt{2}$ )²ⁿ + (c + d $\displaystyle \sqrt{2}$ )²ⁿ = 5 + 4 $\displaystyle \sqrt{2}$

(где n — натуральное число)?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]