Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.

Вниз   Решение


Докажите, что середины параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение


Постройте вписанный четырехугольник по четырем сторонам (Брахмагупта).

ВверхВниз   Решение


У Царя Гвидона было 5 сыновей. Среди его потомков 100 имели каждый ровно по 3 сына, а остальные умерли бездетными.
Сколько потомков было у царя Гвидона?

ВверхВниз   Решение


Пусть  x = sin 18°.  Докажите, что  4x² + 2x = 1.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

ВверхВниз   Решение


Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть a/b и c/d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |bc – ad| = 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



Задача 58207  (#24.004B1)

Тема:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки, причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника, равна сумме длин вертикальных отрезков.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58208  (#24.005)

Тема:   [ Теорема Пика ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки. Внутри его лежит n узлов решетки, а на границе m узлов. Докажите, что его площадь равна n + m/2 - 1 (формула Пика).
Прислать комментарий     Решение


Задача 78839  (#24.005б)

Темы:   [ Ряд Фарея ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Теорема Пика ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть a/b и c/d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |bc – ad| = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 58210  (#24.006)

Тема:   [ Теорема Пика ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Вершины треугольника ABC расположены в узлах целочисленной решетки, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри его есть ровно один узел O. Докажите, что O — точка пересечения медиан треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58211  (#24.006б)

Тема:   [ Теорема Пика ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что квадрат со стороной n не может накрыть более (n + 1)2 точек целочисленной решётки.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .