- 10 класс, 1 тур (4 задачи)
- 7 класс, 2 тур (3 задачи)
- 8 класс, 2 тур (5 задач)
- 9 класс, 2 тур (3 задачи)
- 10 класс, 2 тур (4 задачи)
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Дана последовательность an = 1 + 2n + ... + 5n. Существуют ли пять идущих подряд её членов, кратных 2005?
Может ли число n! оканчиваться цифрами 19760...0?
Докажите следующий признак делимости на 37. Для того, чтобы узнать, делится ли число на 37, надо разбить его справа налево на группы по три цифры. Если сумма полученных трёхзначных чисел делится на 37, то и данное число делится на 37. (Слово "трёхзначные" употреблено условно: некоторые из групп могут начинаться с нулей и быть на самом деле двузначными или меньше; не трёхзначной будет и самая левая группа, если количество цифр нашего числа не кратно 3.)
Рассматриваются решения уравнения 1/x + 1/y = 1/p (p > 1), где x, y и p – натуральные числа. Докажите, что если p – простое число, то уравнение имеет ровно три решения; если p – составное, то решений больше трёх ((a, b) и (b, a) – различные решения, если a ≠ b).
Каковы первые четыре цифры числа 11 + 2² + 3³ + ... + 999999 + 10001000?
a1, a2, ..., an – такие числа, что a1 + a2 + ... + an = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение S = a1a2 + a1a3 + ... + an–1an ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения aiaj, i ≠ j).
30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу.
Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.
На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.
a, b, c – такие три числа, что a + b + c = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение ab + ac + bc ≤ 0.
Дано 10 натуральных чисел: a1 < a2 < a3 < ... < a10. Доказать, что их наименьшее общее кратное не меньше 10a1.
В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Пусть M'K'H' — треугольник с вершинами в точках пересечения трёх проведённых отрезков. Может ли площадь полученного треугольника быть больше 0,499 площади треугольника ABC?
Задачи Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]
Задача 79311 |
|
|
Найти все положительные решения системы уравнений
|
|
Решение |
Задача 79313 |
|
|
Каковы первые четыре цифры числа 11 + 2² + 3³ + ... + 999999 + 10001000?
|
|
Решение |
Задача 79324 |
|
|
Может ли число n! оканчиваться цифрами 19760...0?
|
|
|
Решение |
Задача 79312 |
|
|
В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Пусть M'K'H' — треугольник с вершинами в точках пересечения трёх проведённых отрезков. Может ли площадь полученного треугольника быть больше 0,499 площади треугольника ABC?
|
|
|
Решение |
Задача 79318 |
|
|
Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n2 равна 100?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]
