ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1984 год
Варианты:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Грани некоторого многогранника раскрашены в два цвета так, что соседние грани имеют разные цвета. Известно, что все грани, кроме одной, имеют число рёбер, кратное 3. Доказать, что и эта одна грань имеет кратное 3 число рёбер.

Вниз   Решение

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на двух диагоналях, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно любой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в любой строке меньше 518.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами  a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an,  принимающий при  x = 0  и  x = 1  нечётные значения, не имеет целых корней.

ВверхВниз   Решение

Не используя калькуляторов, таблиц и т.п., докажите неравенство sin 1 < log3$ \sqrt{7}$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

  с решениями  

Задача 79448

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 8

На шахматной доске 20×20 стоят 10 ладей и один король. Король не стоит под шахом и идёт из левого угла в правый верхний по диагонали. Ходят по очереди: сначала король, потом одна из ладей. Доказать, что при любом начальном расположении ладей и любом способе маневрирования ими король попадёт под шах.
Прислать комментарий     Решение

Задача 79451

Темы:   [ Многоугольники (экстремальные свойства) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9

Докажите, что сумма расстояний от центра правильного семиугольника до всех его вершин меньше, чем сумма расстояний до них от любой другой точки.
Прислать комментарий     Решение

Задача 79461

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Логарифмические неравенства ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Не используя калькуляторов, таблиц и т.п., докажите неравенство sin 1 < log3$ \sqrt{7}$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 79454

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Является ли чётным число всех 64-значных натуральных чисел, не содержащих в записи нулей и делящихся на 101?

Прислать комментарий     Решение

Задача 79464

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 11

В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в n1, n2, n3, ... копеек, где
n1 < n < 2 < n3 < ...  – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n1, n2, ..., nN копеек.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам