Версия для печати
Убрать все задачи

---

На шахматной доске 20×20 стоят 10 ладей и один король. Король не стоит под шахом и идёт из левого угла в правый верхний по диагонали. Ходят по очереди: сначала король, потом одна из ладей. Доказать, что при любом начальном расположении ладей и любом способе маневрирования ими король попадёт под шах.

   Решение

---

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки B' и C' симметричны соответственно вершинам B и C относительно прямых AC и AB. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ABB' и ACC', отличная от A. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PA.

   Решение

---

Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно  

   Решение

---

Не используя калькуляторов, таблиц и т.п., докажите неравенство sin 1 < log₃.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79461  (#1)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Логарифмические неравенства ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Не используя калькуляторов, таблиц и т.п., докажите неравенство sin 1 < log₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79462  (#2)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Турниры и турнирные таблицы ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Жюри олимпиады решило по её результатам сопоставить каждому участнику натуральное число таким образом, чтобы по этому числу можно было однозначно восстановить баллы, полученные участником за каждую задачу, и чтобы из каждых двух школьников большее число сопоставлялось тому, кто набрал большую сумму баллов. Помогите жюри решить эту задачу!

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79463  (#3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Решите в целых числах уравнение  19x³ − 84y² = 1984.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79464  (#4)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 11

В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в n₁, n₂, n₃, ... копеек, где
n₁ < n < ₂ < n₃ < ...  – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n₁, n₂, ..., n_N копеек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79466  (#6)

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Свойства сечений ] [ Перегруппировка площадей ] [ Касательные к сферам ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями