Версия для печати
Убрать все задачи

---

Прямая раскрашена в два цвета.
Докажите, что на ней найдутся такие три точки A, B и C, окрашенные в один цвет, что точка B является серединой отрезка AC.

   Решение

---

В стране больше 101 города. Столица соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме столицы, соединён авиалиниями ровно с десятью городами (если A соединён с B, то B соединён с A). Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой (может быть, с пересадками). Доказать, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так, что возможность попасть из каждого города в любой другой сохранится.

   Решение

---

Существуют ли шесть таких последовательных натуральных чисел, что наименьшее общее кратное первых трёх из них больше, чем наименьшее общее кратное трёх следующих?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79642  (#7.1)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Пусть S(x) – сумма цифр натурального числа x. Решите уравнение  x + S(x) = 2001.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79643  (#7.2)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Существуют ли шесть таких последовательных натуральных чисел, что наименьшее общее кратное первых трёх из них больше, чем наименьшее общее кратное трёх следующих?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86486  (#7.3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Задачи-шутки ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

Назовем натуральное число "замечательным", если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма цифр две тысячи первого замечательного числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86487  (#7.4)

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Обыкновенные дроби ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

Докажите, что   ½ – ⅓ + ¼ – ⅕ + ... + ¹/₉₈ – ¹/₉₉ + ¹/₁₀₀ > ⅕.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86489  (#7.5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Подсчет двумя способами ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями