Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая регата >> 2000/01 >> 8 класс
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 24 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

Вниз   Решение

Диаметр PQ и перпендикулярная ему хорда RS пересекаются в точке A. Точка C лежит на окружности, а точка B — внутри окружности, причем  BC || PQ и BC = RA. Из точек A и B опущены перпендикуляры AK и BL на прямую CQ. Докажите, что  SACK = SBCL.

ВверхВниз   Решение

Пусть на двух пересекающихся прямых l1 и l2 выбраны точки M1 и M2, не совпадающие с точкой пересечения M этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через M1, M2 и M.
Если (l1, M1), (l2, M2), (l3, M3) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l1, M1) и (l2, M2), (l2, M2) и (l3, M3), (l3, M3) и (l1, M1), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками.
а) Пусть l1, l2, l3, l4 — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что n окружностей (точек при четном n), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC проведена биссектриса BE и на стороне BC взята точка K так, что  $ \angle$AKB = 2$ \angle$AEB. Найдите величину угла AKE, если  $ \angle$AEB = $ \alpha$.

ВверхВниз   Решение

Дана пирамида АВСD (см. рис.). Известно, что
$ \triangle$ADB = $ \triangle$DBC;
$ \triangle$ABD = $ \triangle$BDC;
$ \triangle$BAD = $ \triangle$ABC.
Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника АВС равна 10 см2.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC угол C вдвое больше угла A и b = 2a. Найдите углы этого треугольника.

ВверхВниз   Решение

На биссектрисе угла A треугольника ABC взята точка A1 так, что  AA1 = p - a = (b + c - a)/2, и через точку A1 проведена прямая la, перпендикулярная биссектрисе. Если аналогично провести прямые lb и lc, то треугольник ABC разобьется на части, среди которых четыре треугольника. Докажите, что площадь одного из этих треугольников равна сумме площадей трех других.

ВверхВниз   Решение

Автор: Алексеев В.Б.

Каждые два из n блоков ЭВМ соединены проводом. Можно ли каждый из этих проводов покрасить в один из  n – 1  цветов так, чтобы от каждого блока отходил  n – 1  провод разного цвета, если  а)  n = 6;  б)  n = 13?

ВверхВниз   Решение

Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Докажите, что если (ABCD) = 1, то либо A = B, либо C = D.

ВверхВниз   Решение

Точки A и B окружности S1 соединены дугой окружности S2, делящей площадь круга, ограниченного S1, на равные части. Докажите, что дуга S2, соединяющая A и B, по длине больше диаметра S1.

ВверхВниз   Решение

В данный остроугольный треугольник впишите треугольник наименьшего периметра.

ВверхВниз   Решение

Назовём натуральное число "замечательным", если оно – самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр.
Сколько существует трёхзначных замечательных чисел?

ВверхВниз   Решение

Пусть коники $ \Gamma$ и $ \Gamma_{1}^{}$ касаются в точках A и B, a коники $ \Gamma$ и $ \Gamma_{2}^{}$ касаются в точках C и D, причем $ \Gamma_{1}^{}$ и $ \Gamma_{2}^{}$ имеют четыре общие точки. Тогда у коник $ \Gamma_{1}^{}$ и $ \Gamma_{2}^{}$ есть пара общих хорд, проходящих через точку пересечения прямых AB и CD.

ВверхВниз   Решение

Докажите следующие свойства коники Г из задачи 31.058:
а) Г проходит через 6 середин отрезков, соединяющих пары данных точек, и через 3 точки пересечения прямых, соединяющих пары данных точек.
б) Центр Г совпадает с центром масс точек A, B, C и D.
в) Если D — точка пересечения высот треугольника ABC, то Г — окружность девяти точек этого треугольника.
д) Если четырехугольник ABCD вписанный, то Г — гипербола с перпендикулярными асимптотами. В этом случае оси всех коник пучка параллельны асимптотам Г.

ВверхВниз   Решение

Расположите в порядке возрастания числа: 2222; 2222; 2222; 2222; 2222; 2222; 2222. Ответ обоснуйте.

ВверхВниз   Решение

Пусть A4 — ортоцентр треугольника A1A2A3. Докажите, что существуют такие числа  $ \lambda_{1}^{}$,...,$ \lambda_{4}^{}$, что  AiAj2 = $ \lambda_{i}^{}$ + $ \lambda_{j}^{}$, причем, если треугольник не прямоугольный, то  $ \sum$(1/$ \lambda_{i}^{}$) = 0.

ВверхВниз   Решение

В этой задаче мы будем рассматривать наборы из n прямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку.
Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если l1, l2, l3, l4 — четыре прямые общего положения, то четыре окружности Si, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой li, проходят через одну точку (см. задачу 2.83, а)), которую мы и поставим в соответствие четверке прямых. Эту конструкцию можно продолжить.
а) Пусть li, i = 1,..., 5 — пять прямых общего положения. Докажите, что пять точек Ai, соответствующих четверкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой li, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что эту цепочку можно продолжить, поставив в соответствие каждому набору из n прямых общего положения точку при четном n и окружность при нечетном n, так, что n окружностей (точек), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности).

ВверхВниз   Решение

Найдите все натуральные m и n, для которых  m! + 12 = n².

ВверхВниз   Решение

На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения:  y² – |y| = x² – |x|.

ВверхВниз   Решение

Постройте n-угольник, если известны n точек, являющихся вершинами равнобедренных треугольников, построенных на сторонах этого n-угольника и имеющих при вершинах углы $ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

ВверхВниз   Решение

Автор: Васильев Н.Б.

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шноль Д.Э.

В четырехугольниках $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны соответствующие углы. Кроме того, $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $BD=B_1D_1$. Обязательно ли четырехугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны?

ВверхВниз   Решение

Найдите все значения а, для которых выражения   а +   и   1/а –   принимают целые значения.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

  с решениями  

Задача 86501  (#2.3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9

Найдите все натуральные m и n, для которых  m! + 12 = n².

Прислать комментарий     Решение

Задача 86502  (#3.1)

Темы:   [ Тождественные преобразования ]
[ Неравенство Коши ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Укажите все пары  (x; y),  для которых выполняется равенство   (x4 + 1)(y4 + 1) = 4x²y².

Прислать комментарий     Решение

Задача 86503  (#3.2)

Темы:   [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

К окружности с диаметром АС проведена касательная ВС. Отрезок АВ пересекает окружность в точке D. Через точку D проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок ВС в точке K. В каком отношении точка K разделила отрезок ВС?
Прислать комментарий     Решение

Задача 86504  (#3.3)

Тема:   [ Задачи на работу ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причём каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?

Прислать комментарий     Решение

Задача 86505  (#4.1)

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Найдите все значения а, для которых выражения   а +   и   1/а –   принимают целые значения.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .