Версия для печати
Убрать все задачи
а) Докажите, что проективное преобразование
P
плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую
в бесконечно удаленную прямую, является аффинным.
б) Докажите, что если точки
A,
B,
C,
D лежат па
прямой, параллельной исключительной прямой проективного
преобразования
P плоскости
, то
P(
A)
P(
B) :
P(
C)
P(
D) =
AB :
CD.
в) Докажите, что если проективное преобразование
P переводит
параллельные прямые
l1 и
l2 в параллельные прямые,
то либо
P аффинно, либо его исключительная прямая
параллельна прямым
l1 и
l2.
г) Пусть
P — взаимно однозначное преобразование множества
всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое
каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что
P проективно.
Решение
Шестизначное число делится на 37 и имеет хотя бы две различные цифры. Его
первая и четвёртая цифры – не нули.
Докажите, что, переставив цифры в данном числе, можно получить другое число, тоже кратное 37 и не начинающееся с нуля.
Решение
Точки
A2
,
B2
и
C2
– середины высот
AA1
,
BB1
и
CC1
остроугольного треугольника
ABC . Найдите
сумму углов
B2
A1
C2
,
C2
B1
A2
и
A2
C1
B2
.
Решение
Через n!! обозначается произведение n(n – 2)(n – 4)... до единицы (или до двойки): например, 8!! = 8·6·4·2; 9!! = 9·7·5·3·1.
Докажите, что 1985!! + 1986!! делится на 1987.
Решение
Фильтр
