Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости дана прямая. С помощью пятака постройте две точки какой-нибудь прямой, перпендикулярной данной. Разрешаются такие операции: отметить точку, приложить пятак к ней и обвести его; отметить две точки (на расстоянии меньше диаметра пятака), приложить пятак к ним и обвести его. Нет возможности прикладывать пятак к прямой так, чтобы она его касалась.

   Решение

---

Набор чисел a₀, a₁, ..., a_n удовлетворяет условиям:  a₀ = 0,  0 ≤ a_k+1 – a_k ≤ 1  при  k = 0, 1, ..., n – 1.  Докажите неравенство  

   Решение

---

Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
  а)  P(n) ≥ n – 3;
  б)  P(n) ≤ 2n – 7;
  в)  P(n) ≤ 2n – 10  при  n ≥ 13.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97981  (#1)

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Четность и нечетность ] [ Куб ] [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.
Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108031  (#2)

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Внутри квадрата ABCD выбрана такая точка M, что  ∠MAC = ∠MCD = α.  Найдите величину угла ABM.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97983  (#3)

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Полуинварианты ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Числа  1, 2, 3, ..., n  записываются в некотором порядке:  a₁, a₂, a₃, ..., a_n.  Берётся сумма  S = ^a₁/₁ + ^a₂/₂ + ... + ^a_n/_n.  Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  a₁, a₂, a₃, ..., a_n)  встретились все целые числа от n до  n + 100.

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97984  (#4)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

а) Даны две одинаковые шестерёнки с 14 зубьями каждая. Их наложили друг на друга так, что зубья совпали (так что проекция на плоскость выглядит как одна шестерёнка). После этого четыре пары совпадающих зубьев выпилили. Всегда ли можно повернуть эти шестерёнки друг относительно друга так, чтобы проекция на плоскость выглядела как одна целая шестерёнка? (Шестерёнки можно поворачивать, но нельзя переворачивать.)

б) Тот же вопрос про две шестерёнки с 13 зубьями, из которых выпилили по 4 зуба.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97985  (#5)

Темы:   [ Перестройки ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
  а)  P(n) ≥ n – 3;
  б)  P(n) ≤ 2n – 7;
  в)  P(n) ≤ 2n – 10  при  n ≥ 13.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями