Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 53]

Задача 61244 (#08.083)

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Теорема синусов. Докажите, что из равенств

$\displaystyle {\frac{a}{\sin\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{\sin\beta}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{\sin\gamma}}$ , $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \pi$

(8.3)

следует:

a = b cos $\displaystyle \gamma$ + c cos $\displaystyle \beta$ ,

b = c cos $\displaystyle \alpha$ + a cos $\displaystyle \gamma$ ,

c = a cos $\displaystyle \beta$ + b cos $\displaystyle \alpha$ .

(8.4)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61245 (#08.084)

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Покажите, что из соотношений (8.4) и дополнительных условий 0 < $\alpha$ < $\pi$ , 0 < $\beta$ < $\pi$ , 0 < $\gamma$ < $\pi$ , a > 0, b > 0, c > 0 следуют равенства (8.3 ).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61246 (#08.085)

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Теорема косинусов. Докажите, что соотношения (8.4 ) равносильны системе

a² = b² + c² - 2bc cos $\displaystyle \alpha$ ,

b² = a² + c² - 2ac cos $\displaystyle \beta$ ,

c² = a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ ,

(8.5)

то есть из существования равенств (8.4 ) вытекает существование равенств (8.5 ) и наоборот.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61247 (#08.086)

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для него справедлива теорема синусов (8.7 ) и две теоремы косинусов (8.6 ), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства

cos $\displaystyle \alpha$ = cos $\displaystyle \beta$ cos $\displaystyle \gamma$ + sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ cos A,

cos $\displaystyle \beta$ = cos $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \gamma$ + sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \gamma$ cos B,

cos $\displaystyle \gamma$ = cos $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ cos C,

(8.6)

и, кроме того, величины $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и A, B, C заключены между 0 и $\pi$ . Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\sin A}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin C}{\sin \gamma}}$ .

(8.7)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61248 (#08.087)

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов	]
	[	Формула Герона	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона. Докажите, что из системы (8.6 ) следуют равенства

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos $\displaystyle \alpha$ ,

cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos $\displaystyle \beta$ ,

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos $\displaystyle \gamma$ ,

tg $\displaystyle {\dfrac{A+B+ C-\pi}{4}}$ = $\displaystyle \sqrt{\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\alpha}{2} \hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\beta}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\gamma}{2}}$ ,

(8.8)

где 2p = $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 53]