Даны два единичных куба с общим центром. Всегда ли можно занумеровать вершины каждого из кубов от $1$ до $8$ так, чтобы расстояние между любыми двумя вершинами с одинаковыми номерами не превышало $\frac{4}{5}$? А чтобы не превышало $\frac{13}{16}$?

   Решение

Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером 1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]      

Точки A и B окружности S₁ соединены дугой окружности S₂, делящей площадь круга, ограниченного S₁, на равные части. Докажите, что дуга S₂, соединяющая A и B, по длине больше диаметра S₁.

Прислать комментарий

Решение

Кривая  делит квадрат на две части равной площади. Докажите, что на ней можно выбрать две точки A и B так, что прямая AB проходит через центр O квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]