Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 50]
Задача
58135
(#22.012B2)
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10
|
Пусть
A и
B — фиксированные точки,
![$ \lambda$](show_document.php?id=603456)
и
![$ \mu$](show_document.php?id=603459)
— фиксированные
числа. Выберем произвольную точку
X и зададим точку
P равенством
![$ \overrightarrow{XP}$](show_document.php?id=603445)
=
![$ \lambda$](show_document.php?id=603456)
![$ \overrightarrow{XA}$](show_document.php?id=603452)
+
![$ \mu$](show_document.php?id=603459)
![$ \overrightarrow{XB}$](show_document.php?id=603449)
. Докажите, что положение точки
P не
зависит от выбора точки
X тогда и только тогда, когда
![$ \lambda$](show_document.php?id=603456)
+
![$ \mu$](show_document.php?id=603459)
= 1.
Докажите также, что в этом случае точка
P лежит на прямой
AB.
Задача
58136
(#22.012B3)
|
|
Сложность: 5 Классы: 9
|
а) Докажите, что если
M1 и
M2 — выпуклые многоугольники, то
M1 +
M2 — выпуклый многоугольник, число
сторон которого не превосходит суммы чисел сторон многоугольников
M1 и
M2.
б) Пусть
P1 и
P2 — периметры многоугольников
M1 и
M2. Докажите,
что периметр многоугольника
M1 +
M2 равен
P1 +
P2.
Задача
58137
(#22.012B4)
|
|
Сложность: 6 Классы: 9,10
|
Пусть
S1 и
S2 — площади многоугольников
M1 и
M2. Докажите,
что площадь
S(
![$ \lambda_{1}^{}$](show_document.php?id=603509)
,
![$ \lambda_{2}^{}$](show_document.php?id=603510)
) многоугольника
M1 +
M2
равна
где
S12 зависит только от
M1 и
M2.
Задача
58138
(#22.012B5)
|
|
Сложность: 7 Классы: 9,10
|
Докажите, что
S12![$ \ge$](show_document.php?id=603569)
![$ \sqrt{S_1S_2}$](show_document.php?id=603570)
, т.е.
![$ \sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$](show_document.php?id=603523)
![$ \ge$](show_document.php?id=603569)
![$ \lambda_{1}^{}$](show_document.php?id=603565)
![$ \sqrt{S_1}$](show_document.php?id=603566)
+
![$ \lambda_{2}^{}$](show_document.php?id=603567)
![$ \sqrt{S_2}$](show_document.php?id=603568)
(Брунн)
.
Задача
58139
(#22.012B6)
|
|
Сложность: 7 Классы: 9,10
|
а) Пусть
M — выпуклый многоугольник, площадь которого равна
S, а периметр
равен
P;
D — круг радиуса
R. Докажите, что площадь фигуры
M +
D равна
б) Докажите, что
S
P2/4
![$ \pi$](show_document.php?id=603604)
.
Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 50]