Жители города Глупова пользуются купюрами только в 35 и 80 тыров. Сможет ли рассчитаться продавец с покупателем, который хочет купить
  a) шоколадку за 57 тыров;
  б) булочку за 15 тыров?

   Решение

а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников  BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

а) Архитектор хочет расположить четыре высотных здания так, что, гуляя по городу, можно увидеть их шпили в произвольном порядке (т. е. для любого набора номеров зданий i, j, k, l можно стоя в некоторой точке и поворачиваясь в направлении к пок или к противк часовой стрелки, увидеть сначала шпиль здания i, затем j, k, l). Удастся ли ему это сделать?
б) Тот же вопрос для пяти зданий.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дано n точек, причем из любой четверки этих точек можно выбросить одну точку так, что оставшиеся точки будут лежать на одной прямой. Докажите, что из данных точек можно выбросить одну точку так, что все оставшиеся точки будут лежать на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дано 400 точек. Докажите, что различных расстояний между ними не менее 15.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дано n3 точек. Пусть d — наибольшее расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется не более n пар точек, расстояние между которыми равно d.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дано 4000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует 1000 непересекающихся четырехугольников (возможно, невыпуклых) с вершинами в этих точках.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]