Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 810 811 812 813 814 815 816 >> [Всего задач: 4557]

Задача 73673

Темы:	[	Сочетания и размещения	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Формула включения-исключения	]
	[	Производная и кратные корни	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Сидоров М.И.

m и n – натуральные числа, m < n. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Задача 73685

Темы:	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Целочисленные решетки	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Алексеев В.Б.

P и Q – подмножества множества выражений вида (a₁, a₂, ..., a_n), где a_i – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kⁿ). Для каждого элемента (p₁, ..., p_n) множества P и каждого элемента (q₁, ..., q_n) множества Q существует хотя бы один такой номер m, что p_m = q_m. Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из k^n–1 элементов для
а) k = 2 и любого натурального n;
б) n = 2 и любого натурального k > 1;
в) произвольного натурального n и произвольного натурального k > 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73693

Темы:	[	Доказательство от противного	]
	[	Обратный ход	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 7,8,9

Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное число a > 1, а далее под каждым числом k слева пишем число k² , а справа — число k + 1. Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные.

Например, при a = 2 вторая строка состоит из чисел 4 и 3, третья — из чисел 16, 5, 9 и 4, четвёртая — из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 и 5.

Прислать комментарий Решение

Задача 73694

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 5
Классы: 7,8,9

Автор: Лапицкий В.Е.

Можно ли расставить цифры 0, 1 и 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером 100×100 таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике размером 3×4, стороны которого идут по сторонам клеток, оказалось бы три нуля, четыре единицы и пять двоек?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73700

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Лысов Ю.П.

На окружности расположено множество F точек, состоящее из 100 дуг. При любом повороте R окружности множество R(F) имеет хотя бы одну общую точку с множеством F. (Другими словами, для любого угла α от 0° до 180° в множестве F можно указать две точки, отстоящие одна от другой на угол α.) Какую наименьшую сумму длин могут иметь 100 дуг, образующих множество F? Каков будет ответ, если дуг не 100, а n?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 810 811 812 813 814 815 816 >> [Всего задач: 4557]