Страница:
<< 1421 1422 1423 1424
1425 1426 1427 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть S – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать S?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Для каждого натурального n обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1 = 2, S2 = 2 + 3 = 5, S3 = 2 + 3 + 5 = 10, ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (Sn) оказаться квадратами натуральных чисел?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Игровое поле представляет собой
полоску
1
× N . В начале игры на нескольких крайних левых
полях стоит по одной белой шашке, на стольких же крайних правых
полях — по одной чёрной шашке. Белые и Чёрные ходят по очереди,
начинают Белые. Ход заключается в передвижении одной из своих
шашек в направлении противника (Белые ходят направо, Чёрные
— налево). Можно делать простой ход или бить шашки соперника.
При простом ходе разрешается перемещать шашку на любое
число клеток, но нельзя перепрыгивать ни через свои шашки, ни
через чужие. Бьют шашки соперника по тем же правилам, что и в
обычных шашках:
Шашка бьёт шашку соперника, стоящую на соседнем поле, если
следующее за ним поле свободно. При этом своя шашка перемещается
на это свободное поле, а побитая шашка соперника снимается с
доски.
Бить обязательно: если есть возможность бить, делать вместо
этого простой ход какой-либо шашкой нельзя.
Если шашка, побившая шашку соперника, может сразу побить
следующую его шашку, она должна продолжать бить тем же ходом.
Кто — Белые или Чёрные
— победят в этой игре вне зависимости от игры партнёра? Рассмотрите случаи:
а) У игроков по одной шашке, поле длиной
N>2
клеток;
б) У игроков по две шашки, поле длиной
N>4
клеток;
в) У игроков по три шашки, поле длиной
N>6
клеток;
г)
Дополнительное задание. Можно подумать, что численное
преимущество решает исход игры. Придумайте и нарисуйте, однако,
позицию, где у Белых меньше шашек, чем у Чёрных, и тем не менее,
Белые начинают (с простого хода) и выигрывают.
Страница:
<< 1421 1422 1423 1424
1425 1426 1427 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
