Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1420 1421 1422 1423 1424 1425 1426 >> [Всего задач: 8157]

Задача 111865

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Подлипский О.К.

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111871

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Акопян А.В.

Окружность ω с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что AQ ⊥ OP. Прямая OP пересекает описанные окружности ω₁ и ω₂ треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что OM = ON.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111874

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Полянский А.

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности, B₀ – середина стороны AC. Прямая BO пересекает сторону AC в точке P, а прямые BH и A₁C₁ пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые HB₀ и PQ параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111875

Темы:	[	Китайская теорема об остатках	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Произволов В.В., Сендеров В.А.

При каких натуральных n > 1 существуют такие натуральные b₁, ..., b_n (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b₁ + k)(b₂ + k)...(b_n + k) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 111879

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Удвоение медианы	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Емельянов Л.А.

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1420 1421 1422 1423 1424 1425 1426 >> [Всего задач: 8157]