Страница:
<< 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
Задача
109641
(#97.5.11.5)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида x² + px + q, где p, q – целые, 1 ≤ p ≤ 1997, 1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
Задача
109642
(#97.5.11.6)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Даны многоугольник, прямая l и точка P на прямой l в общем положении (то есть все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают l в различных точках, отличных от P). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из неё стороны многоугольника, пересекают l по разные стороны от точки P. Докажите, что точка P лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от l отмечено нечётное число вершин.
Задача
109643
(#97.5.11.7)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.
Задача
109644
(#97.5.11.8)
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В прямоугольную коробку с основанием m×n, где m и n – нечётные числа, уложены домино размера 2×1 так, что остался не покрыт только квадрат 1×1 (дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной, её разрешается сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку (при этом открывается новая дырка). Докажите, что с помощью
таких передвижений можно перегнать дырку в любой другой угол.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
Фильтр
