ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 108190  (#95.4.9.6)

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B . Окружность, проходящая через точки O1 , O2 и A , вторично пересекает окружность S1 в точке D , окружность S2 – в точке E , а прямую AB – в точке C . Докажите, что CD=CB=CE .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109877  (#95.4.9.7)

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (см. рис.).

Назовём узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109878  (#95.4.9.8)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Можно ли в таблице 11×11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109863  (#95.4.10.1)

Темы:   [ Итерации ]
[ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Дана функция f(x)= . Найдите f(.. f(f(19))..)95 раз .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109864  (#95.4.10.2)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Натуральные числа m и n таковы, что  НОК(m, n) + НОД(m, n) = m + n.  Докажите, что одно из чисел m или n делится на другое.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .