Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108123  (#03.4.9.3)

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110134  (#03.4.9.4)

Темы:   [ Признаки делимости на 11 ] [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Деление с остатком ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Два игрока по очереди выписывают на доске в ряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, кратное 11. Кто из игроков победит при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108124  (#03.4.9.5)

Темы:   [ Углы между биссектрисами ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Обозначим через A' , B' , C' точки, симметричные точке I относительно сторон треугольника ABC . Докажите, что если окружность, описанная около треугольника A'B'C' , проходит через вершину B , то ABC = 60^o .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110136  (#03.4.9.6)

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Степень вершины ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно один знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого было ровно 2, 3, 4, ..., 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода.
Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110137  (#03.4.9.7)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Десятичная система счисления ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что из любых шести четырёхзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбрать пять чисел, также взаимно простых в совокупности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями