ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 116931  (#9.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Даны натуральные числа M и N, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что  M = 3N.  Чтобы получить число M, надо в числе N к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число N?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116932  (#9.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, касается его сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть B1H – высота треугольника A1B1C1. Докажите, что точка H лежит на биссектрисе угла CAB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116933  (#9.3)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Храмцов Д.

Можно ли разбить клетчатую доску 12×12 на уголки из трёх соседних клеток так, чтобы каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд клеток доски пересекал одно и то же количество уголков? (Ряд пересекает уголок, если содержит хотя бы одну его клетку.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 116934  (#9.4)

Тема:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

По кругу выписаны 1000 чисел. Петя вычислил модули разностей соседних чисел, Вася – модули разностей чисел, стоящих через одно, а Толя – модули разностей чисел, стоящих через два. Известно, что каждое Петино число больше любого Васиного хотя бы вдвое. Докажите, что каждое Толино число не меньше любого Васиного.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116935  (#9.5)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Ненулевые числа a и b таковы, что уравнение  a(x – a)² + b(x – b)² = 0  имеет единственное решение. Докажите, что  |a| = |b|.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .