ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      



Задача 116952  (#11.6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Три попарно непересекающиеся окружности ωx, ωy, ωz радиусов rx, ry, rz лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ,  rx = rz = r,  а  ry > r.  Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ωx и ωy, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ωy и ωz. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116953  (#11.7)

Темы:   [ Разложение на множители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Найдите все такие натуральные k, что при каждом нечётном  n > 100  число  20n + 13n  делится на k.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116954  (#11.8)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Фигура мамонт бьёт как слон (по диагоналям), но только в трёх направлениях из четырёх (отсутствующее направление может быть разным для разных мамонтов). Какое наибольшее число не бьющих друг друга мамонтов можно расставить на шахматной доске 8×8?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .