ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 64728  (#1)

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Существует ли такой квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  с целыми коэффициентами и a, не кратным 2014, что все числа  f(1),  f(2), ...,  f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64729  (#2)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Производная и экстремумы ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Найдите все такие a и b, что    и при всех x выполнено неравенство  |a sin x + b sin 2x| ≤ 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64730  (#3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Докажите, что для любого натурального n найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается n единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из n единиц и двоек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64731  (#4)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Сочетания и размещения ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

У повара в подчинении десять поварят, некоторые из которых дружат между собой. Каждый рабочий день повар назначает одного или нескольких поварят на дежурство, а каждый из дежурных поварят уносит с работы по одному пирожному каждому своему недежурящему другу. В конце дня повар узнает количество пропавших пирожных. Сможет ли он за 45 рабочих дней понять, кто из поварят дружит между собой, а кто нет?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64732  (#5)

Темы:   [ Описанные многогранники ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Поверхность выпуклого многогранника A1B1C1A2B2C2 состоит из восьми треугольных граней AiBjCk, где i, j, k меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке O касается всех этих граней. Докажите, что точка O и середины трёх отрезков A1A2, B1B2 и C1C2 лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .