Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]

Задача 65713 (#11.7)

Темы:	[	Соображения непрерывности	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Власова Н.

По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовём пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65712 (#9.8)

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором ∠DAB = 90°. Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что ∠ADB = ∠CAM.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65714 (#10.8)

Темы:	[	Системы алгебраических нелинейных уравнений	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Найдите все такие пары различных действительных чисел x и y, что x¹⁰⁰ – y¹⁰⁰ = 2⁹⁹(x – y) и x²⁰⁰ – y²⁰⁰ = 2¹⁹⁹(x – y).

Прислать комментарий

Решение

Задача 65740 (#11.8)

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Произведения и факториалы	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Голованов А.С.

Натуральное число N представляется в виде N = a₁ – a₂ = b₁ – b₂ = c₁ – c₂ = d₁ – d₂, где a₁ и a₂ – квадраты, b₁ и b₂ – кубы, c₁ и c₂ – пятые степени, а d₁ и d₂ – седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел a₁, b₁, c₁и d₁ найдутся два равных?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]