Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 66162 (#11.1)

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Число x таково, что обе суммы S = sin 64x + sin 65x и C = cos 64x + cos 65x – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66013 (#11.2)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Вася задумал восемь клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску восемь ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, чётно (то есть 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66019 (#10.2)

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Окружность с центром I вписана в четырёхугольник ABCD. Лучи BA и CD пересекаются в точке P, а лучи AD и BC пересекаются в точке Q. Известно, что точка P лежит на описанной окружности ω треугольника AIC. Докажите, что точка Q тоже лежит на окружности ω.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66013 (#9.2)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Решение

Задача 66148 (#9.2)

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Кузнецов А.

Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Окружность ω проходит через вершины B и C и вторично пересекает сторону AB и диагональ BD в точках X и Y соответственно. Касательная, проведённая к окружности ω в точке C, пересекает луч AD в точке Z. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]