Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67344  (#11 [8-10 кл])

Темы:   [ Гомотетичные многоугольники ] [ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ точки $M$, $N$ – середины сторон $AB$, $AC$ соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе $AL$ пересекает биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PM$ и $QN$ пересекаются на касательной к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67345  (#12 [8-10 кл])

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Биссектрисы $AA_1$, $CC_1$ треугольника $ABC$, в котором $\angle B=60^{\circ}$, пересекаются в точке $I$. Описанные окружности треугольников $ABC$, $A_1IC_1$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PI$ проходит через середину стороны $AC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67346  (#13 [8-11 кл])

Тема:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Верно ли, что любой многоугольник можно разрезать на равнобокие трапеции?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67347  (#14 [9-11 кл])

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Вписанная окружность $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ касается окружности, проходящей через середины его сторон, в точке $F$. Из середины $O$ гипотенузы $AB$ проведена касательная $OE$ к $\omega$, отличная от $AB$. Докажите, что $CE=CF$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67348  (#15 [9-11 кл])

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Разность двух углов треугольника больше $90^{\circ}$. Докажите, что отношение радиусов его описанной и вписанной окружностей больше 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями