Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Текстовые задачи
>>
Таблицы и турниры
>>
Шахматные доски и шахматные фигуры
Фильтр
Задачи
Задача 64778 |
|
|
Петя и Вася играют в игру на клетчатой доске n×n (где n > 1). Изначально вся доска белая, за исключением угловой клетки – она чёрная, и в ней стоит ладья. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок передвигает ладью по горизонтали или вертикали, при этом все клетки, через которые ладья перемещается (включая ту, в которую она попадает), перекрашиваются в чёрный цвет. Ладья не должна передвигаться через чёрные клетки или останавливаться на них. Проигрывает тот, кто не может сделать ход; первым ходит Петя. Кто выиграет при правильной игре?
Решение
См. задачу 107812.
Ответ
Петя.
|
|
Задача 65099 |
|
|
Какое наибольшее количество белых и чёрных пешек можно расставить на клетчатой доске 9×9 (пешку, независимо от её цвета, можно ставить на любую клетку доски) так, чтобы никакая из них не била никакую другую (в том числе и своего цвета)? Белая пешка бьёт две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с бóльшим номером, а чёрная – две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с меньшим номером (см. рисунок).
Решение
Пример с 56 пешками показан на рисунке.
Допустим, нам удалось поставить 57 пешек. В первых 8 столбцах (их можно разбить на 12 прямоугольников 3×2) стоит не более 48 пешек, а в девятом столбце, следовательно, – 9 пешек. Но тогда в восьмом столбце стоит не более двух пешек (иначе нашлась бы пешка, стоящая не в первой и не в последней строке, которая бы била какую-то пешку из девятого столбца). Итак, в восьмом и девятом столбцах вместе не более 11 пешек, в столбцах со второго по седьмой – не более 36 пешек (их можно разбить на 9 прямоугольников 3×2), а в первом – не более девяти. Итого, не более
9 + 36 + 11 = 56 пешек. Противоречие.
Ответ
56.
|
|
|
Задача 65579 |
|
|
Клетки шахматной доски 8×8 занумерованы по диагоналям, идущим влево вниз, от 1 в левом верхнем до 64 в правом нижнем углу: (см. рис.). Петя расставил на доске 8 фишек так, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали оказалось по одной фишке. Затем он переставил фишки так, что каждая фишка попала на клетку с бóльшим номером. Могло ли по-прежнему в каждой строке и в каждом столбце оказаться по одной фишке?
Решение
Зададим координаты клеток, занумеровав вертикали слева направо, а горизонтали – сверху вниз. Заметим, что на каждой из указанных в условии диагоналей сумма координат клеток постоянна, а чем ниже (и правее) диагональ, тем сумма на ней больше. При перестановке с увеличением номеров фишка с нижней горизонтали перешла на диагональ правее, а остальные – на ту же или ниже, поэтому сумма координат всех фишек увеличилась. Но если бы по-прежнему в каждой строке и в каждом столбце стояло по одной фишке, то сумма координат всех фишек не изменилась бы (осталась бы равной 2·(1 + 2 + … + 8) ). Противоречие.
Ответ
Не могло.
|
|
|
Задача 65581 |
|
|
Пусть A – угловая клетка шахматной доски, B – соседняя с ней по диагонали клетка. Докажите, что число способов обойти всю доску хромой ладьей (ходит на одну клетку по вертикали или горизонтали), начиная с клетки A, больше, чем число способов обойти всю доску хромой ладьей, начиная с клетки B. (Ладья должна побывать на каждой клетке ровно один раз.)
Решение
Каждому пути Г, (обходящему всю доску и) начинающемуся с B, поставим в соответствие путь, начинающийся с A. Для этого по части Г, соединяющей B с A, пройдём в обратном направлении, а затем (заменив ход из A ходом из B) продолжим его по оставшейся части (если она есть). Это возможно, поскольку каждая клетка, соседняя с A, является соседней и с B. При этом разные пути, очевидно, превращаются в разные.
Осталось предъявить маршрут, начинающийся с A, который нельзя получить таким способом. Таковым является любой обход, когда ладья попадает в B после того, как прошла по обоим соседям A. Например, годится обход доски по "скручивающейся" спирали.
|
|
|
Задача 66154 |
|
|
Каждая клетка доски 100×100 окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет, причём все клетки, примыкающие к границе доски – чёрные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата 2×2. Докажите, что на доске найдётся клетчатый квадрат 2×2, клетки которого окрашены в шахматном порядке.
Решение
Предположим противное: на доске нет ни одноцветных, ни шахматно окрашенных квадратов 2×2. Рассмотрим все отрезки сетки, разделяющие две разноцветных клетки (назовём их разделителями); пусть их количество равно N.
В любом квадрате 2×2 есть либо ровно одна клетка одного из цветов и три клетки другого, либо две соседних белых клетки и две соседних чёрных. В обоих случаях внутри квадрата есть ровно два разделителя. Всего имеется 99² квадратов 2×2, а каждый разделитель лежит внутри ровно двух из них (по условию к границе разделители не примыкают). Значит, N = 2·99² : 2 = 99².
С другой стороны, N должно быть чётным. Действительно, в каждой строке и каждом столбце первая и последняя клетка – чёрные; поэтому там должно быть чётное число перемен цвета. Противоречие.
|
|
|
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 162]
