Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
Пусть P — точка Брокара треугольника ABC; R1, R2 и R3 — радиусы описанных окружностей
треугольников ABP, BCP и CAP. Докажите, что
R1R2R3 = R3,
где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.
Пусть P и Q — первая и вторая точки Брокара
треугольника ABC. Прямые CP и BQ, AP и CQ, BP и AQ
пересекаются в точках A1, B1 и C1. Докажите, что описанная
окружность треугольника A1B1C1 проходит через точки P и Q.
На сторонах CA, AB и BC остроугольного
треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что
AB1A1 =
BC1B1 =
CA1C1. Докажите, что
A1B1C1
ABC, причем центр поворотной гомотетии,
переводящей один треугольник в другой, совпадает с первой точкой
Брокара обоих треугольников.
[Оружности Схоуте]
|
|
Сложность: 7+ Классы: 9,10,11
|
Опустим из точки M перпендикуляры MA1, MB1 и
MC1 на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC
множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A1B1C1 имеет
заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена
внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне ее
(окружности Схоуте).
|
|
Сложность: 7+ Классы: 10,11
|
Докажите, что для угла Брокара
выполняются следующие
неравенства:
а)
![$ \varphi^{3}_{}$](show_document.php?id=593783)
(
-
)(
-
)(
-
);
б)
8![$ \varphi^{3}_{}$](show_document.php?id=593783)
![$ \le$](show_document.php?id=593784)
![$ \alpha$](show_document.php?id=593785)
![$ \beta$](show_document.php?id=593787)
(неравенство Йиффа).
Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]