Версия для печати
Убрать все задачи

---

На окружности отмечено 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке.
  а) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечётны.
  б) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были чётны?

   Решение

---

Пусть натуральные числа m₁, m₂, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что если числа x₁, x₂, ..., x_n пробегают полные системы вычетов по модулям m₁, m₂, ..., m_n соответственно, то число  x = x₁m₂...m_n + m₁x₂m₃...m_n + ... + m₁m₂...m_n–1x_n  пробегает полную систему вычетов по модулю m₁m₂...m_n. Выведите отсюда китайскую теорему об остатках (см. задачу 60825).

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60837  [Больное войско]

Тема:   [ Китайская теорема об остатках ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Генерал хочет построить для парада своих солдат в одинаковые квадратные каре (конечно, в каре должно быть более одного человека), но он не знает сколько солдат (от 1 до 37) находится в лазарете. Докажите, что у генерала может быть такое количество солдат, что он, независимо от заполнения лазарета, сумеет выполнить свое намерение. Например войско из 9 человек можно поставить в виде квадрата 3×3, а если один человек болен, то в виде двух квадратов 2×2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60825  [Китайская теорема об остатках]

Тема:   [ Китайская теорема об остатках ]

Сложность: 4

Докажите китайскую теорему об остатках:
  Пусть целые числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты,  m = m₁...m_n,  и a₁, ..., a_n, A – произвольные целые числа. Тогда существует ровно одно такое целое число x, что
    x ≡ a₁ (mod m₁),
      ...
    x ≡ a_n (mod m_n)

и   A ≤ x < A + m.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60831

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть натуральные числа m₁, m₂, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что если числа x₁, x₂, ..., x_n пробегают полные системы вычетов по модулям m₁, m₂, ..., m_n соответственно, то число  x = x₁m₂...m_n + m₁x₂m₃...m_n + ... + m₁m₂...m_n–1x_n  пробегает полную систему вычетов по модулю m₁m₂...m_n. Выведите отсюда китайскую теорему об остатках (см. задачу 60825).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60974  [Китайская теорема об остатках для многочленов]

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть m₁(x), ..., m_n(x) – попарно взаимно простые многочлены, a₁(x), ..., a_n(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
    p(x) ≡ a₁(x) (mod m₁(x)),
      ...
    p(x) ≡ a_n(x) (mod m_n(x))
и  deg p(x) < deg m₁(x) + ... + deg m_n(x).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111875

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Произведения и факториалы ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

При каких натуральных  n > 1  существуют такие натуральные b₁, ..., b_n  (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b₁ + k)(b₂ + k)...(b_n + k)  является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями