В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали AC₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AA₁ < AD < AB. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB₁A₁, ADD₁A₁, ABCD, а вторая – граней BCC₁B₁, CDD₁C₁, A₁B₁C₁D₁. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD₁ и AC₁; в) радиус R.

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 201]      

Пусть  n > 2.  Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 4k + 3  бесконечно.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 6k + 5  бесконечно.

Прислать комментарий

Решение

Пусть  {p_n} – последовательность простых чисел  (p₁ = 2,  p₂ = 3,  p₃ = 5, ...).
  а) Докажите, что  p_n > 2n  при  n ≥ 5.
  б) При каких n будет выполняться неравенство  p_n > 3n?

Прислать комментарий

Решение

Докажите неравенство  p_n+1 < p₁p₂...p_n  (p_k – k-е простое число).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 201]