Докажите следующие свойства функций g_k,l(x) (определения функций g_k,l(x) смотри здесь):
  а)  g_k,l(x) = ,  где  h_m(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – x^m)   (h₀(x) = 1);
  б)  g_k,l(x) = g_l,k(x);
  в)   g_k,l(x) = g_k–1,l(x) + x^kg_k,l–1(x) = g_k,l–1(x) + x^lg_k–1,l(x);
  г)  g_k,l+1(x) = g_0,l(x) + xg_1,l(x) + ... + x^kg_k,l(x);
  д)  g_k,l(x) – многочлен степени kl.
  Многочлены g_k,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 49]      

Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения:
  а}  (x + y)(y + z)(x + z);
  б}  x³ + y³ + z³ – 3xyz;
  в}  x³ + y³;
  г)  (x² + y²)(y² + z²)(x² + z²);
  д)  
  е)  x⁴ + y⁴ + z⁴.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что x₁, x₂, x₃ – корни уравнения  x³ – 2x² + x + 1 = 0.
Составьте новое уравнение, корнями которого были бы числа  y₁ = x₂x₃,  y₂ = x₁x₃,  y₃ = x₁x₂.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству  a + b + c = 0.  Докажите, что  2a⁴ + 2b⁴ + 2c⁴  – квадрат целого числа.

Прислать комментарий

Решение

Пусть уравнение  x³ + px + q = 0  имеет корни x₁, x₂ и x₃. Выразите через p и q дискриминант этого уравнения   D = (x₁ – x₂)²(x² – x₃)²(x₃ – x₁)².

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что равенство  4p³ + 27q² = 0  является необходимым и достаточным условием для совпадения по крайней мере двух корней уравнения
x³ + px + q = 0.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 49]