Страница:
<< 23 24 25 26
27 28 29 >> [Всего задач: 201]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
На столе - куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из
какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень,
а затем одну из куч делят на две.
Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки,
состоящие из трех камней?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
С многоугольником разрешено проделывать следующую операцию.
Если многоугольник делится отрезком AB на на два многоугольника,
то один из этих многоугольников можно отразить симметрично
относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB. (Операция
разрешается только в том случае, когда
в результате получается несамопересекающийся
многоугольник.) Можно ли путем нескольких таким операций получить
из квадрата правильный треугольник?
Саша начертил квадрат размером 6×6 клеток и поочередно закрашивает в нём по одной клетке. Закрасив очередную клетку, он записывает в ней число – количество закрашенных клеток, соседних с ней. Закрасив весь квадрат, Саша складывает числа, записанные во всех клетках. Докажите, что в каком бы порядке Саша ни красил клетки, у него в итоге получится одна и та же сумма. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток,
как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет
сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа n, n + 1, ..., n + 8. При каких n он сможет это сделать?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8
|
На конкурсе "А ну-ка, чудища!" стоят в ряд 15 драконов. У соседей число голов отличается на 1. Если у дракона больше голов, чем у обоих его соседей, его считают хитрым, если меньше, чем у обоих соседей, – сильным, остальных (в том числе стоящих с краю) считают обычными. В ряду есть ровно четыре хитрых дракона – с 4, 6, 7 и 7 головами и ровно три сильных – с 3, 3 и 6 головами. У первого и последнего драконов голов поровну.
а) Приведите пример того, как такое могло быть.
б) Докажите, что число голов у первого дракона во всех
примерах одно и то же.
Страница:
<< 23 24 25 26
27 28 29 >> [Всего задач: 201]
Фильтр
