ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 199]      



Задача 107776

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ]
[ Инварианты ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Несколько населённых пунктов соединены дорогами с городом, а между ними дорог нет. Автомобиль отправляется из города с грузами сразу для всех населённых пунктов. Стоимость каждой поездки равна произведению веса всех грузов в кузове на расстояние. Докажите, что если вес каждого груза численно равен расстоянию от города до пункта назначения, то общая стоимость перевозки не зависит от порядка, в котором объезжаются пункты.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110110

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?
Прислать комментарий     Решение


Задача 116415

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на 45° вокруг любого из её концов.
Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того, чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом её концы поменялись местами?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111910

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Инварианты ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?

Прислать комментарий     Решение

Задача 73782

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Инварианты ]
[ Деление с остатком ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Квадрат 6×6 нужно заполнить 12 плитками, из которых k имеют форму уголка, а остальные  12 – k  – прямоугольника. При каких k это возможно?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 199]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .