Версия для печати
Убрать все задачи

---

По кругу записаны семь натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое.
Докажите, что найдётся пара и не соседних чисел с таким же свойством.

   Решение

---

а) На каждой стороне десятиугольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти окружности имеют общую точку, не совпадающую ни с одной вершиной десятиугольника?
б) Решите ту же задачу для одиннадцатиугольника.

   Решение

Страница: << 59 60 61 62 63 64 65 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78153

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Четность и нечетность ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Сторона клетки клетчатой бумаги равна 1. По линиям сетки построен прямоугольник со сторонами m и n. Можно ли в прямоугольнике провести по линиям сетки замкнутую ломаную, которая ровно один раз проходила бы через каждый узел сетки, расположенный внутри или на границе прямоугольника? Если можно, то какова её длина?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78184

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В квадратную таблицу N×N записаны все целые числа по следующему закону: 1 стоит на любом месте, 2 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 1, 3 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 2, и так далее. На сколько сумма чисел в столбце, содержащем N², отличается от суммы чисел в строке, содержащей 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78806

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Четность и нечетность ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Каждая вершина правильного 13-угольника покрашена либо в чёрный, либо в белый цвет.
Доказать, что существуют три точки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79332

Темы:   [ Рекуррентные соотношения ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Последовательность натуральных чисел {x_n} строится по следующему правилу:  x₁ = 2,  x_n+1 = [1,5x_n].  Доказать, что в последовательности {x_n} бесконечно много
  а) нечётных чисел;
  б) чётных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79389

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Дано число, имеющее 13 разрядов. Доказать, что одну из его цифр можно вычеркнуть так, что в полученном числе количество семёрок на чётных местах будет равно количеству семёрок на нечётных местах.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 59 60 61 62 63 64 65 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями