Версия для печати
Убрать все задачи

---

Между девятью планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

   Решение

---

В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?

   Решение

---

Дан выпуклый 2n-угольник A₁...A_2n. Внутри него взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей.
Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A₁,..., A_2n.

   Решение

---

Есть длинный ряд луночек. В трёх из них лежит по шарику. Игроки по очереди делают ход: берут один из крайних шариков и перекладывают в свободную луночку между двумя другими. Тот, кто не может сделать ход, считается проигравшим. Кто – начинающий игру или ходящий вторым – победит при правильной игре при показанных на рисунках первоначальных расположениях шариков?

  а)  

  б)  

  в)  

  г) Разберите общий случай: между крайними шариками и средним имеется N и K пустых луночек.

   Решение

Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110925

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8,9,10,11

Есть длинный ряд луночек. В трёх из них лежит по шарику. Игроки по очереди делают ход: берут один из крайних шариков и перекладывают в свободную луночку между двумя другими. Тот, кто не может сделать ход, считается проигравшим. Кто – начинающий игру или ходящий вторым – победит при правильной игре при показанных на рисунках первоначальных расположениях шариков?

  а)  

  б)  

  в)  

  г) Разберите общий случай: между крайними шариками и средним имеется N и K пустых луночек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115350

Темы:   [ Взвешивания ] [ Четность и нечетность ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса каждых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115378

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Четность и нечетность ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

На краю круглого вращающегося стола через равные промежутки стояли 30 чашек с чаем. Мартовский Заяц и Соня сели за стол и стали пить чай из каких-то двух чашек (не обязательно соседних). Когда они допили чай, Заяц повернул стол так, что перед каждым опять оказалось по полной чашке. Когда и эти чашки опустели, Заяц снова повернул стол (возможно на другой угол), и снова перед каждым оказалась полная чашка. И так продолжалось до тех пор, пока весь чай не был выпит. Докажите, что если бы Заяц всегда поворачивал стол так, чтобы его новая чашка стояла через одну от предыдущей, то им бы тоже удалось выпить весь чай (то сеть тоже каждый раз обе чашки оказывались бы полными).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115461

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Дан такой набор из 2009 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных чисел, то получится тот же набор.
Найдите произведение всех чисел набора.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116270

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Четность и нечетность ] [ Раскраски ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

По кругу лежат 100 белых камней. Дано целое число k в пределах от 1 до 50. За ход разрешается выбрать любые k подряд идущих камней, первый и последний из которых белые, и покрасить первый и последний камни в чёрный цвет. При каких k можно за несколько таких ходов покрасить все 100 камней в чёрный цвет?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями